Un Comentario

  1. González Quiroga Victor Gerardo

    Judith! No pude dar con tu correo me decía que estaba mal, porque creo que lo escribí mal
    Por favor checa mi examen, no me di cuenta que lo envie mal. Lo escribi en LaTex

    \documentclass[letter,10pt]{article}
    \usepackage[spanish]{babel}
    \usepackage{amsmath}
    \usepackage{amssymb}
    \usepackage{polynom}
    \author{González Quiroga, Víctor Gerardo}
    \begin{document}

    \today\ \\
    \begin{center}
    \'{A}lgebra Superior 2\\
    Reposici\'{o}n 3 del Quinto Parcial\\
    González Quiroga, Victor Gerardo\\
    \end{center}

    4. Sea $f(x)=x^5-11x^4+42x^3-54x^2-27x+81$, usando el criterio de las derivadas
    encuentre $a$ y $b$, tales que $f(x)=(x-a)^4(x-b)$\\
    \\ \\
    Derivando $f(x)$ se tiene:\\
    $f'(x)=5x^4-44x^3+126x^2-108x-27$\\
    $f»(x)=20x^3-132x^2+252x-108$\\
    $f»'(x)=60x^2-264x+252$\\
    $f»»(x)=120x-264$\\
    \\ \\
    $f»»(a)=0 \Leftrightarrow 120a-264=0 \Leftrightarrow a=\dfrac{264}{120}=3$\\
    \\ \\
    $\therefore (x-3)^4(x-b)=x^5-11x^4+42x^3-54x^2-27x+81$\\
    $(x^4-12x^3+54x^2-108x+81)(x-b)=x^5-11x^4+42x^3-54x^2-27x+81$\\ \\
    Haciendo la divisi\'{o}n larga: \\ \\
    $\polylongdiv{x^5-11x^4+42x^3-54x^2-27x+81}{x^4-12 x^3+54 x^2-108 x+81}$\\ \\
    $\therefore x-b=x+1 \Leftrightarrow b=-1$\\
    $\therefore f(x)=(x-3)^4 (x+1)$
    \\ \\ \\
    5.Demuestre que $t^4 + 4$ puede expresarse como el producto de dos polinomios
    enteros de grado dos.\\
    \\ \\
    Por demostrar que:\\
    $t^4 + 4 =(t^2 + 2t + 2) (t^2 – 2 t + 2)$
    Sea \\
    $t^4 + 4 =( a_2 t^2 + a_1 t + a_0 ) ( b_2 t^2 + b_1 t + b_0 )\\
    = a_2 b_2 t^4 +(a_2 b_1 +a_1 b_2) t^3+(a_2 b_0 +a_1 b_1 +a_0 b_2 )t^2+(a_1 b_0 +a_0 b_1 )t+a_0 b_0$
    Obsérvese que:
    $a_2 b_2 = 1 \Leftrightarrow a_2,b_2=1$ \’o $a_2,b_2=-1 \because$ Las únicas
    unidades en $\mathbb{Z}$ son:$-1,1$\\
    $a_0 b_0 = 4 \Leftarrow a_0,b_0 =\pm 2; a_0=\pm1,b_0=\pm4;
    a_0=\pm4,b_0=\pm1$\\\\

    Caso 1.1 $(a_2=b_2=1 \wedge a_0=b_0=\pm2)$ :\\
    Caso 1.1.1 $(a_0=b_0=2)$ :\\
    $\Leftarrow t^4 + 4 = (b_1 + a_1)t^3 + (2 + a_1 b_1 + 2)t^2 + (2a_1
    + 2b_1)t + 4$\\
    $\Leftarrow -b_1=a_1, a_1 b_1 = -4, 2a_1=-2b_1$\\ \\
    Como los divisores de 4 son $\pm4,\pm2,\pm1$ y $a_1 = -b_1$, se
    tiene sin p\’erdida de generalidad que: $a_1=2, b_1=-2$\\ \\
    $\therefore t^4 + 4 = (t^2 + 2t + 2) (t^2 – 2 t + 2)$
    Por el Caso 1.1.1
    $\blacksquare$

    \end{document}

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